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<!DOCTYPE html>

<title>Energie-Impuls-Tensor</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Energie-Impuls-Tensor</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Der Energie-Impuls-Tensor ist eine <a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">physikalische Größe</a>, welche die <a href="Dichte" title="Dichte">Dichte</a> und den <a href="Fluss_(Physik)" title="Fluss (Physik)">Fluss</a> von <a href="Energie" title="Energie">Energie</a> und <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> in der <a href="Raumzeit" title="Raumzeit">Raumzeit</a> beschreibt. Er ist von besonderer Bedeutung in der <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">Relativitätstheorie</a> und wird vor allem in der <a href="Feldtheorie_(Physik)" title="Feldtheorie (Physik)">Feldtheorie</a> verwendet. Gemäß den <a href="Einsteinsche_Feldgleichungen" title="Einsteinsche Feldgleichungen">einsteinschen Feldgleichungen</a>, ist er für die <a href="Raumzeitkr%C3%BCmmung" class="mw-redirect" title="Raumzeitkrümmung">Raumzeitkrümmung</a> verantwortlich und somit Ursprung der Gravitation. Der Energie-Impuls-Tensor ist ein <a href="Tensor" title="Tensor">Tensor</a> zweiter <a href="Tensor#Arten_von_Tensoren" title="Tensor">Stufe</a>, das heißt er kann als <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> dargestellt werden. Er kann in der folgenden allgemeinen Form angegeben und interpretiert werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T_{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}w&{\frac {S_{x}}{c}}&{\frac {S_{y}}{c}}&{\frac {S_{z}}{c}}\\{\frac {S_{x}}{c}}&G_{xx}&G_{xy}&G_{xz}\\{\frac {S_{y}}{c}}&G_{yx}&G_{yy}&G_{yz}\\{\frac {S_{z}}{c}}&G_{zx}&G_{zy}&G_{zz}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f8f536a168bca1276e09d6e5269df84b6215bd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.838ex; width:34.573ex; height:16.843ex;" alt="{\displaystyle (T_{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}w&{\frac {S_{x}}{c}}&{\frac {S_{y}}{c}}&{\frac {S_{z}}{c}}\\{\frac {S_{x}}{c}}&G_{xx}&G_{xy}&G_{xz}\\{\frac {S_{y}}{c}}&G_{yx}&G_{yy}&G_{yz}\\{\frac {S_{z}}{c}}&G_{zx}&G_{zy}&G_{zz}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei die erste Spalte die Energie und restlichen drei Spalten den <a href="Impuls" title="Impuls">Impuls</a> beschreiben. Genauer

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> ist eine <a href="Energiedichte" title="Energiedichte">Energiedichte</a> (Energie pro <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a>). Sie ist bei kleinen Geschwindigkeiten von der Dichte der <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> dominiert, aber auch <a href="Photon" title="Photon">Photonen</a>, die keine <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> besitzen, tragen mit ihrer Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=h\cdot \nu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=h\cdot \nu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db5633528b74514a2ca05598d24746cd37e27a6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.124ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E=h\cdot \nu }" loading="lazy"> zur Energiedichte bei.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (S_{x},S_{y},S_{z})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d625544f0d1544a7968059fd57fcfd5f473485e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.375ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (S_{x},S_{y},S_{z})}" loading="lazy"> ist eine Energiestromdichte (Energiedichte multipliziert mit einer <a href="Geschwindigkeit" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</a>),</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> ist die <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a>,</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03a436fb23d456fca8331befe32ab7751eba8f18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.483ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{ik}}" loading="lazy"> ist im Fall der Anwendung auf elektromagnetische Strahlung das Negative des <a href="Maxwellscher_Spannungstensor" title="Maxwellscher Spannungstensor">maxwellschen Spannungstensors</a>. Er beinhaltet den räumlichen Impulstransport, z. B. in den Diagonaltermen den <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a>, den das elektromagnetische <a href="Strahlung" title="Strahlung">Strahlungs</a><a href="Feld_(Physik)" title="Feld (Physik)">feld</a> ausübt. Die Nichtdiagonalterme dieses <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensors</a> beschreiben <a href="Scherspannung" class="mw-redirect" title="Scherspannung">Scherspannungen</a>.</li></ul>

Im Rahmen der <a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">speziellen Relativitätstheorie</a> und der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> ist der Energie-Impuls-Tensor ein <a href="Vierertensor" title="Vierertensor">Vierertensor</a> zweiter Stufe.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geometrische_raumzeitliche_Interpretation_in_4D-Sprechweise">Geometrische raumzeitliche Interpretation in 4D-Sprechweise</h2></div>

Zur Vereinfachung werden in diesem Artikel <a href="Planck-Einheiten" title="Planck-Einheiten">Planck-Einheiten</a> verwendet. So ist die <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> auf Eins normiert, sodass aufgrund der <a href="%C3%84quivalenz_von_Masse_und_Energie" title="Äquivalenz von Masse und Energie">Äquivalenz von Masse und Energie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=mc^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=mc^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f73dbd37a0cac34406ee89057fa1b36a1e6a18e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.976ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle E=mc^{2}}" loading="lazy"> Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> und Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> miteinander identifiziert werden.

<ul><li>Die Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{00}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{00}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14da610abd2fec0866849b653cc22f773487150d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.596ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{00}}" loading="lazy"> (<a href="Energiedichte" title="Energiedichte">Energiedichte</a>, <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Massendichte</a>) beschreibt den Energiefluss (Massenfluss) in zeitartiger Richtung, also den Energiefluss durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.</li>

<li>Die Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{i0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{i0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a694cc777dbb1d9bc88146bf3646fd3e7af6bd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.342ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{i0}}" loading="lazy">; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,\dotsc ,3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,\dotsc ,3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dde44a05681b4a3048b99b5e91bbc978d22be3c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.404ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,\dotsc ,3}" loading="lazy"> (räumlicher Energiefluss, räumlicher Massenfluss) beschreiben die Energiestromdichte (Massenstromdichte) in räumlicher i-Richtung, also den Energiefluss durch ein 3D-Volumenelement mit einer <a href="Lorentz-Transformation" title="Lorentz-Transformation">zeitartigen</a> und zwei <a href="Lorentz-Transformation" title="Lorentz-Transformation">raumartigen</a> Achsen.</li>

<li>Die Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{0k}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{0k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd6b6a4022fcd07352650d7b89fc2f13765fbe57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.631ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{0k}}" loading="lazy">; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=1,\dotsc ,3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=1,\dotsc ,3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/391916780f5c144227412b82d2ea998d955fc16d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.813ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=1,\dotsc ,3}" loading="lazy"> (Impulsdichte) beschreiben den Impulsfluss der k-ten Komponente des <a href="Impuls_(Mechanik)" class="mw-redirect" title="Impuls (Mechanik)">Impulses</a> in zeitartiger Richtung, also den Impulsfluss der k-ten Komponente des Impulses durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.</li>

<li>Die Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{ik}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{ik}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f284d220bd0f247a716fd19b3b56f72d55b045d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.376ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{ik}}" loading="lazy">; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,k=1,\dotsc ,3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,k=1,\dotsc ,3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e9d55e69dc7023f4d50614d843cffa4ee207b37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.649ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,k=1,\dotsc ,3}" loading="lazy"> (<a href="Impulsstromdichte" title="Impulsstromdichte">Impulsstromdichte</a>) beschreiben den Impulsfluss der k-ten Komponente des <a href="Impuls_(Mechanik)" class="mw-redirect" title="Impuls (Mechanik)">Impulses</a> in räumlicher i-Richtung, also den Impulsfluss der k-ten Komponente durch ein 3D-Volumenelement mit einer zeitartigen und zwei raumartigen Achsen.</li></ul>

Die Symmetrie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd5222efc96e3b81a52b6f61939646575cebfddc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.991ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }}" loading="lazy"> enthält folgende Information:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{\alpha 0}=T^{0\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f749d1b7ce33c59e939628c6da7aed41de09e3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.751ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{\alpha 0}=T^{0\alpha }}" loading="lazy">: Die Massenstromdichte (Energiestromdichte) ist gleich der Impulsdichte; das ist eine Konsequenz aus dem <a href="Schwerpunktsatz" title="Schwerpunktsatz">Schwerpunktsatz</a>.</li>

<li>Die Scherspannungen sind symmetrisch: Ein Transport der k-ten Komponente des Impulses in i-Richtung ist stets begleitet von einem gleich großen Transport der i-ten Komponente des Impulses in k-Richtung (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,k=1,\dotsc ,3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,k=1,\dotsc ,3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e9d55e69dc7023f4d50614d843cffa4ee207b37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.649ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,k=1,\dotsc ,3}" loading="lazy">); das ist eine Konsequenz der <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpulserhaltung</a>.</li></ul>

Die Energie-Impuls-Erhaltung wird in der <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">Relativitätstheorie</a> durch die Bilanzgleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{\alpha }T^{\alpha \beta }=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37e33c3ebd717309c52c02a7b4f9a157c4fa3e4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.427ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{\alpha }T^{\alpha \beta }=0}" loading="lazy"></dd></dl>

beschrieben, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (T^{\alpha \beta })}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T^{\alpha \beta })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f02558ca3d6e6b680d9552ab1e5ec1fedc75a96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.755ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (T^{\alpha \beta })}" loading="lazy"> den Energie-Impuls-Tensor aller beteiligten <a href="Feld_(Physik)" title="Feld (Physik)">Felder</a> bezeichnet. Beschreibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (T^{\alpha \beta })}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T^{\alpha \beta })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f02558ca3d6e6b680d9552ab1e5ec1fedc75a96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.755ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (T^{\alpha \beta })}" loading="lazy"> nur den Energie-Impuls-Tensor eines Feldes, das mit anderen Feldern wechselwirkt, zum Beispiel der elektromagnetischen Strahlung alleine (siehe unten), so lautet die Energie-Impuls-Bilanzgleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{\alpha }T^{\alpha \beta }=f^{\beta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9606b7b00a853392be13606a7d5e79aaf3632c2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.759ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{\alpha }T^{\alpha \beta }=f^{\beta }}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei die rechte Seite die Viererkraftdichte, also den Viererimpulsaustausch mit anderen Feldern pro 4D-Volumenelement bezeichnet.

Die Komponenten mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =1,\dotsc ,3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =1,\dotsc ,3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9038584e023d8012cd314116447b2895b3a24036.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.934ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta =1,\dotsc ,3}" loading="lazy"> beschreiben hier die Impulsbilanz, die Komponente mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60b5e78663eba7ba08e0dd4915251e6261f4f35c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.593ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta =0}" loading="lazy"> die Energiebilanz (Massenbilanz).

Zusammen mit einer geeigneten <a href="Differentialform" title="Differentialform">Volumenform</a> kann mit Hilfe des Energie-Impuls-Tensors der Energie-Impuls-<a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierervektor</a> berechnet werden, der zu diesem 3D-Volumenelement gehört.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Der_Energie-Impuls-Tensor_der_Elektrodynamik">Der Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Im_Heaviside-Lorentz-Einheitensystem">Im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem</h3></div>

In der <a href="Elektrodynamik" title="Elektrodynamik">Elektrodynamik</a> im <a href="Heaviside-Lorentz-Einheitensystem" title="Heaviside-Lorentz-Einheitensystem">Heaviside-Lorentz-Einheitensystem</a> (rationalisiertem CGS) lautet der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})&({\vec {E}}\times {\vec {B}})^{T}\\{\vec {E}}\times {\vec {B}}&{\frac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})\delta _{ik}-E_{i}E_{k}-B_{i}B_{k}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de3d6c443601970f37556d888a7d3c17cf5f53bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:58.662ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle (T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})&({\vec {E}}\times {\vec {B}})^{T}\\{\vec {E}}\times {\vec {B}}&{\frac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})\delta _{ik}-E_{i}E_{k}-B_{i}B_{k}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

(Im <a href="Gau%C3%9Fsches_Einheitensystem" title="Gaußsches Einheitensystem">Gauß-Einheitensystem</a> unterscheidet sich die Darstellung von der hier gegebenen um den Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5faa46fc0b58bfde794b1a0359f0ee860ad3bc39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:3.331ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}" loading="lazy">.)

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> ist das Symbol für die <a href="Elektrische_Feldst%C3%A4rke" title="Elektrische Feldstärke">elektrische Feldstärke</a>.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> ist das Symbol für die <a href="Magnetische_Flussdichte" title="Magnetische Flussdichte">magnetische Flussdichte</a>.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{ik}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1be99e304201ed3e8842e22b9adfb59a2e27e84e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.689ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta _{ik}}" loading="lazy"> bezeichnet das <a href="Kronecker-Delta" title="Kronecker-Delta">Kronecker-Delta</a>.</li></ul>

<ul><li>Die Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{00}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{00}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be562abb55c9ffb7d90931ae5bfa009a0041a50d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.234ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{00}}" loading="lazy"> des Tensors ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes.</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {B}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d45a457e654947d9a68c5d2f343a6878a36135b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.017ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {B}}}" loading="lazy"> heißt <a href="Poynting-Vektor" title="Poynting-Vektor">Poynting-Vektor</a>. Er beschreibt die Energiestromdichte und die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes.</li>

<li>Die Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})\delta _{ik}-E_{i}E_{k}-B_{i}B_{k}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})\delta _{ik}-E_{i}E_{k}-B_{i}B_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/500d66b6cfb8407fa7ad8517b7d4a0e6145c235c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:31.079ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})\delta _{ik}-E_{i}E_{k}-B_{i}B_{k}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,k=1,2,3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,k=1,2,3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7ff3734a0f3bae4eea72dbcdef2ac3610651f03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.701ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,k=1,2,3}" loading="lazy"> beschreiben das Negative des Spannungstensors (Impulsstromdichte) des elektromagnetischen Feldes, also in den Diagonalelementen den (Strahlungs-)Druck und in den Nichtdiagonalkomponenten die Scherspannung des Feldes.</li></ul>

Der Energie-Impuls-Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (T^{\alpha \beta })}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T^{\alpha \beta })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f02558ca3d6e6b680d9552ab1e5ec1fedc75a96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.755ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (T^{\alpha \beta })}" loading="lazy"> ist eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\times 4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\times 4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89eb2e0f4ddfe5f30c8016a0f2aa1fb5ecedfe20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.165ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4\times 4}" loading="lazy">-<a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a>, denn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}\times {\vec {B}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}\times {\vec {B}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14c900a6c6adacae11c6542935828b5c60a8f503.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.38ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}\times {\vec {B}}}" loading="lazy"> ist ein Vektor mit 3 Komponenten.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Im_SI-Einheitensystem">Im SI-Einheitensystem</h3></div>

Der Energie-Impuls-Tensor sieht in <a href="SI-Einheit" class="mw-redirect" title="SI-Einheit">SI-Einheiten</a> folgendermaßen aus:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})&c\varepsilon _{0}({\vec {E}}\times {\vec {B}})^{T}\\c\varepsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}}&{\tfrac {1}{2}}(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})\delta _{ik}-\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{k}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7995a338ad9fc6ad06b087be83a46ed2e28fb80b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:73.437ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle (T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})&c\varepsilon _{0}({\vec {E}}\times {\vec {B}})^{T}\\c\varepsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}}&{\tfrac {1}{2}}(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})\delta _{ik}-\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{k}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acb0a8377db20e42274444cb181d51b5532b5844.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.138ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{0}}" loading="lazy"> ist die <a href="Elektrische_Feldkonstante" title="Elektrische Feldkonstante">elektrische Feldkonstante</a>,</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe2fd9b8decb38a3cd158e7b6c0c6e2d987fefcc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.456ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{0}}" loading="lazy"> ist die <a href="Magnetische_Feldkonstante" title="Magnetische Feldkonstante">magnetische Feldkonstante</a>.</li></ul>

Der Poynting-Vektor hat jetzt folgende Gestalt:

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {S}}=c^{2}\varepsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99393224135cd86e3263b1293c1d535c5bf605b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.216ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {S}}=c^{2}\varepsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Umrechnung von der Darstellung im <a href="Internationales_Einheitensystem" title="Internationales Einheitensystem">Internationalen Einheitensystem (SI)</a> zum einfacheren <a href="Heaviside-Lorentz-Einheitensystem" title="Heaviside-Lorentz-Einheitensystem">Heaviside-Lorentz-Einheitensystem</a> mit der Konvention <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e3467f9e219a5ea38a30da5c3a02c2c23f61a79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=1}" loading="lazy"> erfolgt einfach durch Weglassen der Konstanten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acb0a8377db20e42274444cb181d51b5532b5844.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.138ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{0}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe2fd9b8decb38a3cd158e7b6c0c6e2d987fefcc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.456ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy">.

Der Maxwellsche Spannungstensor ist mit einem negativen Vorzeichen im Energie-Impuls-Tensor enthalten. In SI-Einheiten hat der Maxwellsche Spannungstensor die Form:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}{\bigl (}{\varepsilon _{0}E^{2}+{\tfrac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}{\bigr )}\delta _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/915ae7e62a9c849f9db9947e98f1c5c3767ea305.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:47.332ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}{\bigl (}{\varepsilon _{0}E^{2}+{\tfrac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}{\bigr )}\delta _{ij}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Relativistische_4D-Notation_für_den_elektromagnetischen_Energie-Impuls-Tensor">Relativistische 4D-Notation für den elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensor</h3></div>

In <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">relativistischer</a> 4D-Notation kann man den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes wie folgt beschreiben:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{\alpha \beta }=F^{\alpha \gamma }F_{\gamma }^{\;\;\beta }-{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\mu \nu }F^{\nu \mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62b3fa150a3cc72561b3f3564ffa9e8ea1064ecf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.997ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle T^{\alpha \beta }=F^{\alpha \gamma }F_{\gamma }^{\;\;\beta }-{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\mu \nu }F^{\nu \mu }}" loading="lazy">.</dd></dl>

Verwendete Notationen:

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</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (F_{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}0&E_{1}&E_{2}&E_{3}\\-E_{1}&0&-B_{3}&B_{2}\\-E_{2}&B_{3}&0&-B_{1}\\-E_{3}&-B_{2}&B_{1}&0\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79ce251fd3fce83981bbd71aee9192988451ee78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:38.871ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle (F_{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}0&E_{1}&E_{2}&E_{3}\\-E_{1}&0&-B_{3}&B_{2}\\-E_{2}&B_{3}&0&-B_{1}\\-E_{3}&-B_{2}&B_{1}&0\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> bezeichnet den <a href="Elektromagnetischer_Feldst%C3%A4rketensor" title="Elektromagnetischer Feldstärketensor">elektromagnetischen Feldstärketensor</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e3467f9e219a5ea38a30da5c3a02c2c23f61a79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=1}" loading="lazy">) und</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6801556eaee76b5520fab99ca12da8f451d1a731.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.464ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g=\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}" loading="lazy"> bezeichnet den <a href="Metrischer_Tensor" title="Metrischer Tensor">metrischen Tensor</a> der speziellen Relativitätstheorie. Das Hoch- und Herunterziehen der Indizes erfolgt mit diesem <a href="Tensor" title="Tensor">Tensor</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bilanzgleichungen_für_den_Energie-Impuls-Tensor_in_der_Elektrodynamik">Bilanzgleichungen für den Energie-Impuls-Tensor in der Elektrodynamik</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="In_3D-Notation">In 3D-Notation</h4></div>

Im Folgenden bezeichnet

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45ea4b2d305d4b0e648e3b040e623910553171ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.317ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}}" loading="lazy"> den Poynting-Vektor,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy"> die elektrische <a href="Ladungsdichte" title="Ladungsdichte">Ladungsdichte</a> eines geladenen Materiefeldes,</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\jmath }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/717dbba96b60cf0173a6e5162c619c62b5e4c526.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.094ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\jmath }}}" loading="lazy"> die <a href="Elektrische_Stromdichte" title="Elektrische Stromdichte">elektrische Stromdichte</a> eines geladenen Materiefeldes.</li></ul>

Die <a href="Maxwell-Gleichungen" title="Maxwell-Gleichungen">Maxwell-Gleichungen</a> für das elektromagnetische Feld implizieren folgende <a href="Bilanzgleichung" title="Bilanzgleichung">Bilanzgleichungen</a> für die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors:

<mfrac>

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</mstyle>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\tfrac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})\right]+\operatorname {div} {\vec {S}}={\vec {\jmath }}\cdot {\vec {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2522e5f6c38082683cc4bbe1007b7889e23552ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:32.874ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\tfrac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})\right]+\operatorname {div} {\vec {S}}={\vec {\jmath }}\cdot {\vec {E}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die linke Seite stellt hier die lokale Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes dar, die rechte Seite die Leistungsdichte des elektromagnetischen Feldes am Materiefeld. Dieser Zusammenhang ist auch als <a href="Satz_von_Poynting" title="Satz von Poynting">Satz von Poynting</a> bekannt.

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<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}S_{k}+{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[{\tfrac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})\delta _{ik}-E_{i}E_{k}-B_{i}B_{k}\right]=({\vec {\jmath }}\times {\vec {B}}+\rho {\vec {E}})_{k}\quad k=1,\dotsc ,3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aad1f8d8fb20a27422939dada54078b8cd6ce70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:77.685ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}S_{k}+{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[{\tfrac {1}{2}}(E^{2}+B^{2})\delta _{ik}-E_{i}E_{k}-B_{i}B_{k}\right]=({\vec {\jmath }}\times {\vec {B}}+\rho {\vec {E}})_{k}\quad k=1,\dotsc ,3}" loading="lazy"></dd></dl>

Die linke Seite stellt hier die lokale Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes dar, die rechte Seite die <a href="Lorentzkraft" title="Lorentzkraft">lorentzsche Kraftdichte</a> des elektromagnetischen Feldes am geladenen Materiefeld.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="In_4D-Notation">In 4D-Notation</h4></div>

In <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">speziell-relativistischer</a> 4D-Notation kann man diese beiden Bilanzgleichungen auch so zusammenfassen:

<mfrac>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}T_{\;\;\beta }^{\alpha }=j^{\alpha }F_{\alpha \beta }\quad \beta =0,\dotsc 3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/513183cdc563aba13cb9165bc6a530144394a252.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:30.874ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}T_{\;\;\beta }^{\alpha }=j^{\alpha }F_{\alpha \beta }\quad \beta =0,\dotsc 3}" loading="lazy"></dd></dl>

Hierbei bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (j^{\alpha })=(\rho ,{\vec {\jmath }})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (j^{\alpha })=(\rho ,{\vec {\jmath }})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d0f5578bfbc6a719e7065b3bf503b1fc92d278a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (j^{\alpha })=(\rho ,{\vec {\jmath }})}" loading="lazy"> den <a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierervektor</a> des elektromagnetischen Viererstroms.

Die rechte Seite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j^{\alpha }F_{\alpha \beta }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j^{\alpha }F_{\alpha \beta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22501dd598fb99da0808fee5f203e746c5bb9bae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.027ex; width:5.99ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle j^{\alpha }F_{\alpha \beta }}" loading="lazy"> bekommt wieder die Interpretation einer <a href="Hendrik_Antoon_Lorentz" title="Hendrik Antoon Lorentz">lorentzschen</a> Viererkraftdichte (Viererimpulsübertrag pro 4D-Volumenelement).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Der_Energie-Impuls-Tensor_in_der_allgemeinen_Relativitätstheorie">Der Energie-Impuls-Tensor in der allgemeinen Relativitätstheorie</h2></div>

Der Energie-Impuls-Tensor der Materie und Strahlung bildet die rechte Seite der <a href="Einsteinsche_Feldgleichungen" title="Einsteinsche Feldgleichungen">einsteinschen Feldgleichungen</a> der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> und wirkt somit als „Quellterm“ für die <a href="Raumzeitkr%C3%BCmmung" class="mw-redirect" title="Raumzeitkrümmung">Krümmung der Raum-Zeit</a>. Neu gegenüber der <a href="Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newtonschen</a> <a href="Gravitation" title="Gravitation">Gravitationstheorie</a> ist, dass alle Komponenten des Tensors die Rolle von „Quellen“ der Gravitation spielen, nicht nur die Massendichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{00}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{00}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14da610abd2fec0866849b653cc22f773487150d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.596ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle T^{00}}" loading="lazy">. Bei moderaten Drücken, Scherspannungen und Geschwindigkeiten in Laborexperimenten bemerkt man das praktisch nicht, weil die Massendichte der Materie meist um viele Größenordnungen größer als alle anderen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Der_Energie-Impuls-Tensor_der_Hydrodynamik">Der Energie-Impuls-Tensor der Hydrodynamik</h2></div>

Der Energie-Impuls-Tensor der Hydrodynamik geht in die <a href="Einsteinsche_Feldgleichungen" title="Einsteinsche Feldgleichungen">einsteinschen Feldgleichungen</a> ein und ermöglicht die Angabe von Lösungen der <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichungen</a>, mit denen die <a href="Dynamik_(Physik)" title="Dynamik (Physik)">Dynamik</a> des <a href="Universum" title="Universum">Kosmos</a> beschrieben werden kann. Er wird in Lehrbüchern der theoretischen <a href="Physik" title="Physik">Physik</a>, die Kapitel über <a href="Kosmologie" title="Kosmologie">Kosmologie</a> enthalten, in der Regel in <a href="Indexdarstellungen_der_Relativit%C3%A4tstheorie" class="mw-redirect" title="Indexdarstellungen der Relativitätstheorie">kontravarianter Darstellung</a> folgendermaßen angegeben:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }-P\;g^{\alpha \beta }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7efcb1c753e64218d9156b88abfb3afb7eef91e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.485ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }-P\;g^{\alpha \beta }}" loading="lazy">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u^{\alpha })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13deac4b01dd9b17f084460825d4df08a44d6935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.423ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u^{\alpha })}" loading="lazy"> ist die <a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierergeschwindigkeit</a>.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> beschreibt den isotropen Druck in einem lokalen <a href="Inertialsystem" title="Inertialsystem">Inertialsystem</a> eines frei fallenden Beobachters.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy"> ist die Massendichte in einem lokalen Inertialsystem.</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g^{\alpha \beta })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7f627b425c3f45a01222fe3c0cfa251b405e12d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.154ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (g^{\alpha \beta })}" loading="lazy"> ist der metrische Tensor der allgemeinen Relativitätstheorie.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> ist der Betrag der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit.</li></ul>

Diese Beschreibung des Energie-Impuls-Tensors gilt für eine Menge von <a href="Fl%C3%BCssigkeit" title="Flüssigkeit">Flüssigkeits</a>- oder Gas-<a href="Teilchen" title="Teilchen">Teilchen</a>, die als <a href="Ideales_Gas" title="Ideales Gas">ideales Gas</a> oder als ideale Flüssigkeit bezeichnet werden darf. Es wird also vorausgesetzt, dass der <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> im Ruhesystem eines jeden Teilchens <a href="Anisotropie" title="Anisotropie">isotrop</a> ist. Wärmeleitung und Viskosität werden zudem vernachlässigt und können damit über diese Darstellung des Energie-Impuls-Tensors auch nicht beschrieben werden.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

In der Kosmologie werden <a href="Galaxie" title="Galaxie">Galaxien</a> als Elemente einer idealen kosmischen Flüssigkeit betrachtet. Die Galaxie expandiert aufgrund der Eigengravitation nicht. Sie entfernt sich aber auf Grund der <a href="Expansion_des_Universums" title="Expansion des Universums">kosmischen Expansion</a> von allen anderen Galaxien. Ein Beobachter, der sich mit dieser Galaxie mitbewegt, wird relativ zu ihr als ruhend betrachtet. In diesem Sinne bildet die Galaxie das <a href="Ruhesystem" title="Ruhesystem">Ruhesystem</a> des mitbewegten Beobachters. In einem solchen Ruhesystem reduziert sich der Vektor der Vierergeschwindigkeit der Galaxie zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u^{\alpha })=(c,0,0,0)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u^{\alpha })=(c,0,0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f49573b18969ea6ee066a06d0f70bf002902715f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.927ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u^{\alpha })=(c,0,0,0)}" loading="lazy">. Dieses Ruhesystem ist zugleich das System eines frei fallenden Beobachters. Man kann deshalb Koordinaten finden, so dass in diesem System anstelle des allgemeinen metrischen Tensors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g^{\alpha \beta })}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g^{\alpha \beta })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7f627b425c3f45a01222fe3c0cfa251b405e12d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.154ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (g^{\alpha \beta })}" loading="lazy"> der metrische Tensor der speziellen Relativitätstheorie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\eta ^{\alpha \beta })}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\eta ^{\alpha \beta })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61410bd8a5ab8a6fa2a0ab98779be6b2cde9fe93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.209ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (\eta ^{\alpha \beta })}" loading="lazy"> verwendet werden kann.

Dadurch vereinfacht sich die Darstellung des Energie-Impuls-Tensors:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&P&0&0\\0&0&P&0\\0&0&0&P\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f6f480b87e201bbdbbfbf224a9372ac61ff2501.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.838ex; width:29.139ex; height:12.843ex;" alt="{\displaystyle (T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&P&0&0\\0&0&P&0\\0&0&0&P\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Verschwindet auch der Druck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">, so besteht der Energie-Impuls-Tensor nur noch aus der Energiedichte (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e=\rho c^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=\rho c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14689df0443e53c34886c89c65a2ebd70c906ff1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.445ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle e=\rho c^{2}}" loading="lazy">):

<msup>

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<mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f4679458779c4ed740471b5fee2be0897e86a92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.838ex; width:27.39ex; height:12.843ex;" alt="{\displaystyle (T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Im Allgemeinen gilt diese Darstellung allerdings nur für einen Punkt der Raumzeit. Für größere Bereiche der Raumzeit muss der allgemeine metrische Tensor der Raumzeit verwendet werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a>: Vorlesungen über Physik Band 3: Quantenmechanik. Oldenbourg 1991 (SI), ISBN 3-486-25134-1.</li>

<li><a href="Walter_Greiner" title="Walter Greiner">Walter Greiner</a>: Klassische Elektrodynamik. Verlag Harri Deutsch, 1991 (Gauss-System), ISBN 3-8171-1184-3.</li>

<li><a href="Torsten_Flie%C3%9Fbach" title="Torsten Fließbach">Torsten Fließbach</a>: Allgemeine Relativitätstheorie. BI Wissenschaftsverlag, 1990, ISBN 3-8274-1356-7 (mit einem Abschnitt über Hydrodynamik und einem Kapitel über Kosmologie).</li>

<li><a href="Edwin_F._Taylor" title="Edwin F. Taylor">Edwin F. Taylor</a>, <a href="John_Archibald_Wheeler" title="John Archibald Wheeler">John Archibald Wheeler</a>: Physik der Raumzeit. Spektrum, 1994, ISBN 3-86025-123-6.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://benjamin-fries.de/hp/dls/vortrag_maxwell-tensor.pdf">Einführende Vortragsfolien zum elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensor</a> (PDF; 948 kB).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Gravitation</cite>. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Energie-Impuls-Tensor&rft.au=Charles+W.%26%2332%3BMisner%2C%26%2332%3BKip+S.%26%2332%3BThorne%2C%26%2332%3BJohn+Archibald%26%2332%3BWheeler&rft.btitle=Gravitation&rft.date=1973-09&rft.genre=book&rft.isbn=0716703440&rft.place=San+Francisco&rft.pub=W.+H.+Freeman" style="display:none"> , Kapitel 5.2 "Three-Dimensional Volumes and Definition of the Stress-Energy-Tensor", S. 130 f.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> M. Alcubierre, "Introduction to 3+1 Numerical Relativity", Punkt 1.12, Seite 32, 2008

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4152222-9">4152222-9</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-09-05" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Energie-Impuls-Tensor&oldid=259490178">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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